Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Геометрические тренинги (Часть 2)

 
   

Геометрические задачи на экстремальные значения.

1. [В.В. Прасолов; №11.2]

Среди всех треугольников с фиксированными углом и а) противолежащей стороной; б) периметром укажите треугольник наибольшей площади.

[u]Ответ[/u]: равнобедренный треугольник с основанием, противолежащим данному углу.

[image]

Пусть в треугольнике АВС ÐВАС = a; |BC| = a; PABC = 2p.

а) Рассмотрим все треугольники с фиксированной стороной ВС и фиксированным углом А. Они вписаны в окружность фиксированного радиуса R = [image] так, что вершины, противолежащие стороне ВС лежат в одной полуплоскости относительно (ВС) (см. рис.). Так как SABC = 0,5aha, то наибольшее значение площади достигается при наибольшем значении высоты, то есть, когда треугольник – равнобедренный.

[image]

б) Рассмотрим все треугольники с фиксированным периметром и фиксированным углом А. Для них фиксирована вневписанная окружность с центром O, касающаяся стороны а, так как [image], где Kточка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АВ (см. рис.). Так как SABC = (p – a)ra, то наибольшее значение площади достигается при наименьшем значении а, то есть, когда касательная (ВС) к вневписанной окружности перпендикулярна (AO’). Следовательно, треугольник АВС – равнобедренный.

 

2. [В.В. Прасолов; №11.5]

[image]

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите треугольник с наибольшей суммой квадратов длин сторон.

[u]Ответ[/u]: равносторонний.

Рассмотрим треугольник АВС, вписанный в окружность радиуса R с центом О (см. рис.). Пусть [image], [image] и [image], тогда [image] = 2(a2 + b2 + c2) – [image]. Так как [image], то [image] = [image]£ 3(a2 + b2 + c2) = 9R2, причем равенство достигается т. и т. т., когда [image], то есть когда точка О совпадает с центром тяжести треугольника. Это означает, что треугольник АВС – равносторонний.

 

3. [В.Ю. Протасов]

Из точки Р, лежащей внутри остроугольного треугольника АВС, опущены перпендикуляры PA’, PBи PCна стороны ВС, СА и АВ соответственно. Найдите положение точки Р, при котором произведение РА×РВ×РС является наибольшим.

Обобщите задачу а) для произвольного треугольника; б) для четырехугольника.

[image]

[u]Ответ[/u]: центр тяжести треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник АВС и точку Р внутри него. Проведем перпендикуляры РА, РВ и РС к сторонам треугольника и соединим Р с вершинами (см. рис.). Тогда [image]. Так как стороны треугольника фиксированы, но произведение расстояний будет наибольшим т. и т. т., когда наибольшим будет произведение записанных площадей. Сумма таких площадей не зависит от расположения точки Р и равна SABC, поэтому их произведение будет наибольшим, если SBPC = SCPA = SAPB, то есть Р – точка пересечения медиан треугольника АВС.

 

4. [В.В. Прасолов; №11.20]

Из точки Р, лежащей внутри треугольника АВС, опущены перпендикуляры PA’, PBи PCна прямые ВС, СА и АВ соответственно. Найдите положение точки Р, при котором сумма [image] принимает наименьшее значение.

[u]Ответ[/u]: центр окружности, вписанной в треугольник.

Рассмотрим треугольник АВС и точку Р внутри него. Проведем перпендикуляры РА, РВ и РС к прямым, содержащим стороны треугольника и соединим Р с вершинами (см. рис. к задаче 3). Введя обозначения PA’ = x, PB’ = y и PC = z, получим: ax + by + cz = 2SABC.

Тогда [image] = [image] + [image] ³ [image] = (a + b + c)2, причем равенство достигается т. и т. т., когда x = y = z. Это означает, что Р – центр вписанной окружности.

 

5. [В.Ю. Протасов] Какой из четырехугольников с данными сторонами имеет наибольшую площадь?

[image]

[u]Ответ[/u]: вписанный в окружность.

Рассмотрим четырехугольник АВСD с данными сторонами, вписанный в окружность (см. рис.). Пусть его площадь не наибольшая. Тогда, «приклеим» к сторонам АВСD сегменты круга и «вставим шарниры» в его вершины. Рассмотрим полученную фигуру с большей площадью четырехугольника. Она имеет такую же длину границы, но большую площадь, чем круг, что противоречит изопериметрическому свойству круга.

Рассказать доказательство Я. Штейнера для изопериметрической задачи или сослаться на книгу В.Ю. Протасова «Максимумы и минимумы в геометрии».

 

6. [6 фестивалей; 90.4.10.]

[image]

Замкнутая ломаная проходит по всем граням единичного куба. Найдите наименьшее возможное значение ее длины.

[u]Ответ[/u]: 3[image].

Рассмотрим развертку куба (см. рис.). Искомая ломаная должна пересекать все грани куба, поэтому лежит внутри обозначенной полосы. Длина ломаной будет наименьшей, если на развертке она будет изображаться отрезком, параллельным краям полосы. В частности, таким отрезком будет изображаться граница правильного шестиугольника, вершинами которого являются середины ребер куба. Каждая сторона такого сечения куба равна половине диагонали грани, то есть равна [image].

 

7. [В.В. Прасолов; №11.25]

Точка Р лежит внутри угла АОВ. Постройте отрезок MN с концами на сторонах угла и содержащий точку Р, так, чтобы сумма OM + ON была наименьшей.

[image]

Пусть MN – искомый отрезок. Проведем через точку Р прямые, параллельные сторонам данного угла. Пусть они пересекают лучи ОА и ОВ в точках K и L соответственно (см. рис.). Так как OM + ON = (OK + OL) + (KM + LN), то требуемая сумма будет наименьшей т. и т. т., когда будет наименьшей сумма KM + LN.

Поскольку треугольники KMP и LPN подобны, то [image] Û KM×LN = KP×PL. Следовательно, KM + LN ³ 2[image] = 2[image] = 2[image], причем равенство достигается т. и т. т., когда KM = LN = [image].

[image]

Таким образом построение сводится к тому, чтобы на продолжениях сторон OK и OL параллелограмма OKPL отложить отрезки, равные среднему геометрическому сторон параллелограмма.

Отметим, что искомый отрезок – единственный, а наименьшее значение суммы OM + ON = ([image] + [image])2, где а и bстороны параллелограмма OKPL.

Равенство KM×LN = KP×PL можно доказать иначе. Проведем через точки M и N прямые, параллельные сторонам угла АОВ (см. рис.). Пусть Qточка их пересечения, Е и Fточки пересечения прямых LP и KP c MQ и NQ соответственно, тогда параллелограммы OKPL и PEQF равновелики и имеют соответственно равные углы.

 

8. [ММО; 93.10.4.]

[image]

На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с центром О. Точки M и N – середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно b и a. Найдите наибольшее значение суммы OM + ON, если угол ACB является переменной величиной.

[u]Ответ[/u]: [image].

Пусть АВDEквадрат, построенный на стороне АВ, тогда [OM] – средняя линия DADC, [ON] – средняя линия DBEC (см. рис.). На отрезках AC и BC во внешнюю сторону построим квадраты AKLC и BTPC. Проведем [BK] и [AT], тогда DABT = DDBC и DBАK = DEAC (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, |DC| –наибольшая тогда и только тогда, когда , |AT| –наибольшая, то есть, TÎ(AC). Аналогично, |EC| –наибольшая тогда и только тогда, когда , |BK| –наибольшая, то есть, KÎ(BC). Для выполнения этих условий необходимо и достаточно, чтобы ÐАСВ = 135°.

В этом случае: [image].

Равенство треугольников можно также доказать, используя поворот плоскости вокруг точек В и А соответственно.

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 15:40:10

vesna Проблема , поднятая Вами, рассмотрена на совещании при директоре 10.12.18г. На 13.12.18г. запланировано собрание трудового коллектива, в повестку включен вопрос по нормам домашнего задания.
vesna
vesna
7 декабря 2018

Просьба хотя бы на планерках напоминать учителям о нормах САНПИН по суммарным домашним заданиям. По Вашему ответу похоже, что в школе не полностью налажен систематический контроль за соблюдением законов РФ, защищающих здоровье ребенка.
Директор
Директор
5 декабря 2018

vesna,
Предлагаю сначала поговорить с учителем, он непосредственно определяет объем дом. задания. Не поможет- идите к зам.директора, курирующему ваши классы. Не поможет- к директору с письменной жалобой, но думаю, до этого не дойдет. derisive
vesna
vesna
5 декабря 2018

Объем домашних заданий (по всем предметам)
не должен превышать:во 2-3 классах -1,5 ч,
в 4-5 классах - 2 ч.и тд( САНПИН 2.4.2.2821-10 пункт 10.30).
Кто в школе это контролирует ?
Дети до ночи сидят над домашними заданиями !
Директор
Директор
25 ноября 2018

Alise W.,
Добрый день. О наличии свободных мест на новый учебный год узнавайте летом.
Alise W.
Alise W.
23 ноября 2018

Когда можно начинать узнавать о наличии мест в 3-й класс, чтобы перевестись в сентябре 2019 года?
Директор
Директор
16 октября 2018

Симона,
Добрый вечер. К сожалению, свободных мест в первых классах нет.
Симона
Симона
16 октября 2018

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как можно попасть переводом в вашу школу в 1й класс? Есть ли места? Обязательна ли прописка?
Директор
Директор
25 сентября 2018

Valentina,
Прививки ставят с сентября. 232 учащихся привиты. Закончилась выделенная вакцина. Ждем поставок.
Valentina
Valentina
18 сентября 2018

Добрый день! Когда начнется вакцинация учащихся против гриппа?

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте