Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Геометрические тренинги (Часть 2)

 
   

Геометрические задачи на экстремальные значения.

1. [В.В. Прасолов; №11.2]

Среди всех треугольников с фиксированными углом и а) противолежащей стороной; б) периметром укажите треугольник наибольшей площади.

[u]Ответ[/u]: равнобедренный треугольник с основанием, противолежащим данному углу.

[image]

Пусть в треугольнике АВС ÐВАС = a; |BC| = a; PABC = 2p.

а) Рассмотрим все треугольники с фиксированной стороной ВС и фиксированным углом А. Они вписаны в окружность фиксированного радиуса R = [image] так, что вершины, противолежащие стороне ВС лежат в одной полуплоскости относительно (ВС) (см. рис.). Так как SABC = 0,5aha, то наибольшее значение площади достигается при наибольшем значении высоты, то есть, когда треугольник – равнобедренный.

[image]

б) Рассмотрим все треугольники с фиксированным периметром и фиксированным углом А. Для них фиксирована вневписанная окружность с центром O, касающаяся стороны а, так как [image], где Kточка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АВ (см. рис.). Так как SABC = (p – a)ra, то наибольшее значение площади достигается при наименьшем значении а, то есть, когда касательная (ВС) к вневписанной окружности перпендикулярна (AO’). Следовательно, треугольник АВС – равнобедренный.

 

2. [В.В. Прасолов; №11.5]

[image]

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите треугольник с наибольшей суммой квадратов длин сторон.

[u]Ответ[/u]: равносторонний.

Рассмотрим треугольник АВС, вписанный в окружность радиуса R с центом О (см. рис.). Пусть [image], [image] и [image], тогда [image] = 2(a2 + b2 + c2) – [image]. Так как [image], то [image] = [image]£ 3(a2 + b2 + c2) = 9R2, причем равенство достигается т. и т. т., когда [image], то есть когда точка О совпадает с центром тяжести треугольника. Это означает, что треугольник АВС – равносторонний.

 

3. [В.Ю. Протасов]

Из точки Р, лежащей внутри остроугольного треугольника АВС, опущены перпендикуляры PA’, PBи PCна стороны ВС, СА и АВ соответственно. Найдите положение точки Р, при котором произведение РА×РВ×РС является наибольшим.

Обобщите задачу а) для произвольного треугольника; б) для четырехугольника.

[image]

[u]Ответ[/u]: центр тяжести треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник АВС и точку Р внутри него. Проведем перпендикуляры РА, РВ и РС к сторонам треугольника и соединим Р с вершинами (см. рис.). Тогда [image]. Так как стороны треугольника фиксированы, но произведение расстояний будет наибольшим т. и т. т., когда наибольшим будет произведение записанных площадей. Сумма таких площадей не зависит от расположения точки Р и равна SABC, поэтому их произведение будет наибольшим, если SBPC = SCPA = SAPB, то есть Р – точка пересечения медиан треугольника АВС.

 

4. [В.В. Прасолов; №11.20]

Из точки Р, лежащей внутри треугольника АВС, опущены перпендикуляры PA’, PBи PCна прямые ВС, СА и АВ соответственно. Найдите положение точки Р, при котором сумма [image] принимает наименьшее значение.

[u]Ответ[/u]: центр окружности, вписанной в треугольник.

Рассмотрим треугольник АВС и точку Р внутри него. Проведем перпендикуляры РА, РВ и РС к прямым, содержащим стороны треугольника и соединим Р с вершинами (см. рис. к задаче 3). Введя обозначения PA’ = x, PB’ = y и PC = z, получим: ax + by + cz = 2SABC.

Тогда [image] = [image] + [image] ³ [image] = (a + b + c)2, причем равенство достигается т. и т. т., когда x = y = z. Это означает, что Р – центр вписанной окружности.

 

5. [В.Ю. Протасов] Какой из четырехугольников с данными сторонами имеет наибольшую площадь?

[image]

[u]Ответ[/u]: вписанный в окружность.

Рассмотрим четырехугольник АВСD с данными сторонами, вписанный в окружность (см. рис.). Пусть его площадь не наибольшая. Тогда, «приклеим» к сторонам АВСD сегменты круга и «вставим шарниры» в его вершины. Рассмотрим полученную фигуру с большей площадью четырехугольника. Она имеет такую же длину границы, но большую площадь, чем круг, что противоречит изопериметрическому свойству круга.

Рассказать доказательство Я. Штейнера для изопериметрической задачи или сослаться на книгу В.Ю. Протасова «Максимумы и минимумы в геометрии».

 

6. [6 фестивалей; 90.4.10.]

[image]

Замкнутая ломаная проходит по всем граням единичного куба. Найдите наименьшее возможное значение ее длины.

[u]Ответ[/u]: 3[image].

Рассмотрим развертку куба (см. рис.). Искомая ломаная должна пересекать все грани куба, поэтому лежит внутри обозначенной полосы. Длина ломаной будет наименьшей, если на развертке она будет изображаться отрезком, параллельным краям полосы. В частности, таким отрезком будет изображаться граница правильного шестиугольника, вершинами которого являются середины ребер куба. Каждая сторона такого сечения куба равна половине диагонали грани, то есть равна [image].

 

7. [В.В. Прасолов; №11.25]

Точка Р лежит внутри угла АОВ. Постройте отрезок MN с концами на сторонах угла и содержащий точку Р, так, чтобы сумма OM + ON была наименьшей.

[image]

Пусть MN – искомый отрезок. Проведем через точку Р прямые, параллельные сторонам данного угла. Пусть они пересекают лучи ОА и ОВ в точках K и L соответственно (см. рис.). Так как OM + ON = (OK + OL) + (KM + LN), то требуемая сумма будет наименьшей т. и т. т., когда будет наименьшей сумма KM + LN.

Поскольку треугольники KMP и LPN подобны, то [image] Û KM×LN = KP×PL. Следовательно, KM + LN ³ 2[image] = 2[image] = 2[image], причем равенство достигается т. и т. т., когда KM = LN = [image].

[image]

Таким образом построение сводится к тому, чтобы на продолжениях сторон OK и OL параллелограмма OKPL отложить отрезки, равные среднему геометрическому сторон параллелограмма.

Отметим, что искомый отрезок – единственный, а наименьшее значение суммы OM + ON = ([image] + [image])2, где а и bстороны параллелограмма OKPL.

Равенство KM×LN = KP×PL можно доказать иначе. Проведем через точки M и N прямые, параллельные сторонам угла АОВ (см. рис.). Пусть Qточка их пересечения, Е и Fточки пересечения прямых LP и KP c MQ и NQ соответственно, тогда параллелограммы OKPL и PEQF равновелики и имеют соответственно равные углы.

 

8. [ММО; 93.10.4.]

[image]

На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с центром О. Точки M и N – середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно b и a. Найдите наибольшее значение суммы OM + ON, если угол ACB является переменной величиной.

[u]Ответ[/u]: [image].

Пусть АВDEквадрат, построенный на стороне АВ, тогда [OM] – средняя линия DADC, [ON] – средняя линия DBEC (см. рис.). На отрезках AC и BC во внешнюю сторону построим квадраты AKLC и BTPC. Проведем [BK] и [AT], тогда DABT = DDBC и DBАK = DEAC (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, |DC| –наибольшая тогда и только тогда, когда , |AT| –наибольшая, то есть, TÎ(AC). Аналогично, |EC| –наибольшая тогда и только тогда, когда , |BK| –наибольшая, то есть, KÎ(BC). Для выполнения этих условий необходимо и достаточно, чтобы ÐАСВ = 135°.

В этом случае: [image].

Равенство треугольников можно также доказать, используя поворот плоскости вокруг точек В и А соответственно.

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 13:18:40

На основании письма учредителя и профсоюзной организации учителей №13 от 08.02.2017г., 25 февраля приказом по школе для педагогического состава будет объявлен методический день. Таким образом, занятия не будут проводиться 23, 24, 25, 26 февраля.
Директор
Директор
7 февраля 2017

Марина,
Здравствуйте.
24.02.2017 года выходной день за 01.01.2017 года. 25.02.2017 рабочая суббота, если не будет письма учредителя.
Марина
Марина
7 февраля 2017

Добрый день!
Подскажите, как будут учиться дети в праздничные дни на 23 февраля? Работающие люди отдыхают с 23 по 26 февраля. А школьники?
Директор
Директор
20 января 2017

Все это только с вашего добровольного согласия. По всем вопросам принуждения детей к участию в подобных мероприятиях звоните 529013. Спасибо.
Директор
Директор
20 января 2017

Уважаемые родители учащихся первой ступени(начальная школа)! Участие ваших детей в различных олимпиадах, конкурсах, организованных за деньги, не является обязательной частью учебного процесса.
Директор
Директор
14 декабря 2016

SashaM,
Проблему удалось решить. Все оценки выставляются в электронный дневник.
Директор
Директор
8 декабря 2016

SashaM,
Здравствуйте. Да, такая проблема есть. К сожалению, кроме бумажной формы журнала ничего Вам предложить не могу.
SashaM
SashaM
7 декабря 2016

Добрый день!
в 3 "А" классе длительное время болеет учитель из-за этого не выставляются оценки детей в электронный дневник, можно как то урегулировать этот вопрос? к сожалению, нет возможности постоянно смотреть классный журнал!
Директор
Директор
2 ноября 2016

Здравствуйте. Ваша жалоба на холодную пищу для учащихся 2-ой смены передана руководителю столовой для принятия мер и ответственному за питание для контроля данного вопроса. Готовят пищу для второй смены во второй половине дня. Спасибо за информацию.
Zolot
Zolot
1 ноября 2016

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, почему дети, учащиеся со второй смены, вынуждены питаться в столовой холодной пищей, разогревают еду только учителям. Видимо готовят только утром, правда цена за питание одинаковая для всех. Заранее спасибо за ответ.

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте

Популярное