Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Геометрические тренинги (Часть 2)

 
   

Геометрические задачи на экстремальные значения.

1. [В.В. Прасолов; №11.2]

Среди всех треугольников с фиксированными углом и а) противолежащей стороной; б) периметром укажите треугольник наибольшей площади.

[u]Ответ[/u]: равнобедренный треугольник с основанием, противолежащим данному углу.

[image]

Пусть в треугольнике АВС ÐВАС = a; |BC| = a; PABC = 2p.

а) Рассмотрим все треугольники с фиксированной стороной ВС и фиксированным углом А. Они вписаны в окружность фиксированного радиуса R = [image] так, что вершины, противолежащие стороне ВС лежат в одной полуплоскости относительно (ВС) (см. рис.). Так как SABC = 0,5aha, то наибольшее значение площади достигается при наибольшем значении высоты, то есть, когда треугольник – равнобедренный.

[image]

б) Рассмотрим все треугольники с фиксированным периметром и фиксированным углом А. Для них фиксирована вневписанная окружность с центром O, касающаяся стороны а, так как [image], где Kточка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АВ (см. рис.). Так как SABC = (p – a)ra, то наибольшее значение площади достигается при наименьшем значении а, то есть, когда касательная (ВС) к вневписанной окружности перпендикулярна (AO’). Следовательно, треугольник АВС – равнобедренный.

 

2. [В.В. Прасолов; №11.5]

[image]

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите треугольник с наибольшей суммой квадратов длин сторон.

[u]Ответ[/u]: равносторонний.

Рассмотрим треугольник АВС, вписанный в окружность радиуса R с центом О (см. рис.). Пусть [image], [image] и [image], тогда [image] = 2(a2 + b2 + c2) – [image]. Так как [image], то [image] = [image]£ 3(a2 + b2 + c2) = 9R2, причем равенство достигается т. и т. т., когда [image], то есть когда точка О совпадает с центром тяжести треугольника. Это означает, что треугольник АВС – равносторонний.

 

3. [В.Ю. Протасов]

Из точки Р, лежащей внутри остроугольного треугольника АВС, опущены перпендикуляры PA’, PBи PCна стороны ВС, СА и АВ соответственно. Найдите положение точки Р, при котором произведение РА×РВ×РС является наибольшим.

Обобщите задачу а) для произвольного треугольника; б) для четырехугольника.

[image]

[u]Ответ[/u]: центр тяжести треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник АВС и точку Р внутри него. Проведем перпендикуляры РА, РВ и РС к сторонам треугольника и соединим Р с вершинами (см. рис.). Тогда [image]. Так как стороны треугольника фиксированы, но произведение расстояний будет наибольшим т. и т. т., когда наибольшим будет произведение записанных площадей. Сумма таких площадей не зависит от расположения точки Р и равна SABC, поэтому их произведение будет наибольшим, если SBPC = SCPA = SAPB, то есть Р – точка пересечения медиан треугольника АВС.

 

4. [В.В. Прасолов; №11.20]

Из точки Р, лежащей внутри треугольника АВС, опущены перпендикуляры PA’, PBи PCна прямые ВС, СА и АВ соответственно. Найдите положение точки Р, при котором сумма [image] принимает наименьшее значение.

[u]Ответ[/u]: центр окружности, вписанной в треугольник.

Рассмотрим треугольник АВС и точку Р внутри него. Проведем перпендикуляры РА, РВ и РС к прямым, содержащим стороны треугольника и соединим Р с вершинами (см. рис. к задаче 3). Введя обозначения PA’ = x, PB’ = y и PC = z, получим: ax + by + cz = 2SABC.

Тогда [image] = [image] + [image] ³ [image] = (a + b + c)2, причем равенство достигается т. и т. т., когда x = y = z. Это означает, что Р – центр вписанной окружности.

 

5. [В.Ю. Протасов] Какой из четырехугольников с данными сторонами имеет наибольшую площадь?

[image]

[u]Ответ[/u]: вписанный в окружность.

Рассмотрим четырехугольник АВСD с данными сторонами, вписанный в окружность (см. рис.). Пусть его площадь не наибольшая. Тогда, «приклеим» к сторонам АВСD сегменты круга и «вставим шарниры» в его вершины. Рассмотрим полученную фигуру с большей площадью четырехугольника. Она имеет такую же длину границы, но большую площадь, чем круг, что противоречит изопериметрическому свойству круга.

Рассказать доказательство Я. Штейнера для изопериметрической задачи или сослаться на книгу В.Ю. Протасова «Максимумы и минимумы в геометрии».

 

6. [6 фестивалей; 90.4.10.]

[image]

Замкнутая ломаная проходит по всем граням единичного куба. Найдите наименьшее возможное значение ее длины.

[u]Ответ[/u]: 3[image].

Рассмотрим развертку куба (см. рис.). Искомая ломаная должна пересекать все грани куба, поэтому лежит внутри обозначенной полосы. Длина ломаной будет наименьшей, если на развертке она будет изображаться отрезком, параллельным краям полосы. В частности, таким отрезком будет изображаться граница правильного шестиугольника, вершинами которого являются середины ребер куба. Каждая сторона такого сечения куба равна половине диагонали грани, то есть равна [image].

 

7. [В.В. Прасолов; №11.25]

Точка Р лежит внутри угла АОВ. Постройте отрезок MN с концами на сторонах угла и содержащий точку Р, так, чтобы сумма OM + ON была наименьшей.

[image]

Пусть MN – искомый отрезок. Проведем через точку Р прямые, параллельные сторонам данного угла. Пусть они пересекают лучи ОА и ОВ в точках K и L соответственно (см. рис.). Так как OM + ON = (OK + OL) + (KM + LN), то требуемая сумма будет наименьшей т. и т. т., когда будет наименьшей сумма KM + LN.

Поскольку треугольники KMP и LPN подобны, то [image] Û KM×LN = KP×PL. Следовательно, KM + LN ³ 2[image] = 2[image] = 2[image], причем равенство достигается т. и т. т., когда KM = LN = [image].

[image]

Таким образом построение сводится к тому, чтобы на продолжениях сторон OK и OL параллелограмма OKPL отложить отрезки, равные среднему геометрическому сторон параллелограмма.

Отметим, что искомый отрезок – единственный, а наименьшее значение суммы OM + ON = ([image] + [image])2, где а и bстороны параллелограмма OKPL.

Равенство KM×LN = KP×PL можно доказать иначе. Проведем через точки M и N прямые, параллельные сторонам угла АОВ (см. рис.). Пусть Qточка их пересечения, Е и Fточки пересечения прямых LP и KP c MQ и NQ соответственно, тогда параллелограммы OKPL и PEQF равновелики и имеют соответственно равные углы.

 

8. [ММО; 93.10.4.]

[image]

На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с центром О. Точки M и N – середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно b и a. Найдите наибольшее значение суммы OM + ON, если угол ACB является переменной величиной.

[u]Ответ[/u]: [image].

Пусть АВDEквадрат, построенный на стороне АВ, тогда [OM] – средняя линия DADC, [ON] – средняя линия DBEC (см. рис.). На отрезках AC и BC во внешнюю сторону построим квадраты AKLC и BTPC. Проведем [BK] и [AT], тогда DABT = DDBC и DBАK = DEAC (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, |DC| –наибольшая тогда и только тогда, когда , |AT| –наибольшая, то есть, TÎ(AC). Аналогично, |EC| –наибольшая тогда и только тогда, когда , |BK| –наибольшая, то есть, KÎ(BC). Для выполнения этих условий необходимо и достаточно, чтобы ÐАСВ = 135°.

В этом случае: [image].

Равенство треугольников можно также доказать, используя поворот плоскости вокруг точек В и А соответственно.

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 19:41:00

Окончательные оценки получают централизованно в зашифрованном виде. После расшифровки оценки принимают статус официальных и доводятся до сведения детей и их родителей. Пока результатов нет.
Директор
Директор
Сегодня в 19:40:55

Zolot,
Добрый день. Поясню здесь то, что могли бы узнать у своего учителя. ВПР(Всероссийские проверочные работы) проверяются и оцениваются учителями школы только предварительно.
Zolot
Zolot
27 апреля 2018

Здравствуйте!В 4-ых классах дети писали ВПР (рус.яз.-17.04,19.04), математика - 24.04, окруж.мир - 26.04). В других школах уже детям объявили результаты по русскому языку и математике. Когда проверят работы детей нашей школы и скажут оценки?
Директор
Директор
16 марта 2018

Марина,
Нет, неправильно. Придёте, дадите согласие, проведем тестирование для любого школьного возраста. С 11.00 до 14.00.
Марина
Марина
16 марта 2018

Таким образом, тестирование будет проводиться только для 8 и 9 классов. Хотя в объявлении речь идёт о четырёх возрастных группах. Для группы 5-7 классы тестирования не будет. Я правильно понимаю?
Директор
Директор
15 марта 2018

Марина,
Здравствуйте. Тестирование будет проходить 18.03.2018г. с 11.00, для 9г с 12.00. Законному представителю ребенка необходимо иметь паспорт для подписания согласия на тестирование.
Марина
Марина
14 марта 2018

Добрый день!
На сайте размещена информация о диагностике профессиональных интересов и предпочтений, которая будет проходить 18 января. Прошу уточнить время, в которое необходимо прийти с ребёнком.
Директор
Директор
19 декабря 2017

ВитЗдравствуйте. По вопросам приема в первый класс можете прочитать на сайте правила приема. Запись детей с закрепленной территории начнется 1 февраля по расписанию. Расписание приема документов будет на сайте не позднее 20 января. Телефон для справок 52-27-38.
Вит
Вит
18 декабря 2017

Добрый день. Хотелось бы узнать, есть ли еще места для записи первоклассников не по прописке, и как записать, если возможность еще есть.
Директор
Директор
15 декабря 2017

По жалобе родителей 1в класса о температуре пищи была проверена работа столовой. Проведена работа с учителями,работниками столовой. Если проблемы не исчезли, прошу написать в электронную приемную.

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте