Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Геометрические Тренинги (Часть 1)

 
   

Площади.

1. [В.В. Прасолов; №4.59]

[image]

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Пусть ABCDEFGHправильный восьмиугольник.

[u]Первый способ[/u]. [image], что и требовалось доказать (см. рис.).

[u]Второй способ[/u]. Угол правильного восьмиугольника равен 135°. Пусть |CD| = |CE| = a, тогда, из треугольника CDE: |CE|2 = 2a2 – 2a2cos135° Û [image]; |AE| = |CE|[image] = [image].

[image], что и требовалось доказать.

2. [В.В. Прасолов; №1.38]

[image]

Точка О, лежащая внутри выпуклого четырехугольника площади S, симметрично отражается относительно середин его сторон. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в полученных точках.

[u]Ответ[/u]: 2S.

Пусть ABCDданный четырехугольник; E, F, G и Hсередины его сторон; E’, F’, G’ и H’образы точки О при симметрии относительно этих середин (см. рис.).

[image]

Так как [EF] – средняя линия треугольника E’OF’, то SE’OF’ = 4SEOF. Аналогично, SF’OG’ = 4SFOG; SG’OH’ = 4SGOH и SH’OE’ = 4 SHOE. Таким образом, SE’F’G’H’ = 4SEFGH. По теореме Вариньона SEFGH = 0,5SABCD, следовательно, SE’F’G’H’ = 2S.

3. [Ol_geo_04, М.А. Волчкевич]

В выпуклом четырехугольнике АВСD Е – середина CD, F – середина АD, K – точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.

[image]

[image]

[u]Первый способ[/u]. Проведем EFсреднюю линию треугольника ADC (см. рис.). Тогда [image], так как высоты этих треугольников, проведенные из вершины F, совпадают. Кроме того, так как (EF) || (AC), то длины перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые EF и AC относятся, как |BE| : |BK|, поэтому, [image]. Перемножив почленно полученные равенства, имеем: [image], ч. т. д.

[u]Второй способ[/u]. Пусть a, c, f и d – длины перпендикуляров, опущенных на прямую из точек A, C, F и D соответственно (см. рис.). Тогда c = d; [image]. Следовательно, [image], ч. т. д.

[u]Третий способ[/u]. Проведем отрезки BD и DK (см. рис.). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то: 2SDBKF = 2(SABCD – SDBCE SDABF SDFKDSDDKE) = 2SABCD SDBCDSDABDSDAKDSDDKC = SABCDSDACD = SDABC, ч. т. д.

[u]Четвертый способ[/u]. Проведем отрезки BD и EF (см. рис.). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то SDBСЕ = [image]SDBСD и SDABF = [image]SDABD. Кроме того, так как EF – средняя линия треугольника ADC, то SDDEF = SDEFK = [image]SDACD. Следовательно, SDBKF = SABCD – SDABF SDBCE SDFKE = [image](SDABD + SDBCD + SDACD) = [image] SDABC, ч. т. д.

[image]

4. [В.В. Прасолов; №4.32]

Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда MN пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B – внутри окружности, причем (BC) || (PQ) и |BC| = |MA|. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что треугольники ACK и BCL равновелики.

Пусть ÐВСА = ÐPQC = a. Тогда, так как ÐPCQ = 90°, то ÐCPQ = 90°a (см. рис.). Проведем (АD) || (CQ) так, что DÎ[CP]. Из того, что DCKAпрямоугольник, следует, что |AD| = |CK|.

[image] = [image] = [image] = SBCL, что и требовалось доказать.

5. [В.В. Прасолов; №4.6]

[image]

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника.

[u]Ответ[/u]: [image].

Пусть АВСDEданный пятиугольник, (АС) I (BD) = P (см. рис.). Так как [image], то точки А и С равноудалены от прямой DE, то есть (AC) || (DE). Аналогично, (BD) || (AE), то есть, АРDE параллелограмм, значит, [image].

[image]

Пусть [image], тогда [image]. Так как [image], то [image] Û x2 + x – 1 = 0 Û [image]. Учитывая, что x > 0, получим: [image].

6. [ММР_02/03; 11_4.2]

Диагональ ВD вписанного четырехугольника АВСD является биссектрисой угла AВC. Найдите площадь АВСD, если |BD| = 6 см, ÐАВС = 60°.

[image]

[u]Ответ[/u]: [image] см2.

Так как равные дуги окружности стягиваются равными хордами, то в данном четырехугольнике АВСD |AD| = |DC| (см. рисунки).

[u]Первый способ[/u]. Рассмотрим симметрию относительно (BD) (см. рис. 1). Так как точка D равноудалена от сторон угла ВАС, то образом высоты DK треугольника ABD будет являться высота DK’ треугольника BCD. Тогда прямоугольные треугольники AKD и CK’D равны (по катету и гипотенузе), следовательно, SABCD = SBKDKў = 2SDBKD = [image].

[u]Второй способ[/u]. Рассмотрим поворот с центром D на угол АDC по часовой стрелке (см. рис. 2). При таком повороте: образами точек А и B являются точки С и B соответственно, то есть, образом треугольника ABD является равный ему треугольник CBD.

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 16:01:33

Марина,
Нет, неправильно. Придёте, дадите согласие, проведем тестирование для любого школьного возраста. С 11.00 до 14.00.
Марина
Марина
Сегодня в 06:38:47

Таким образом, тестирование будет проводиться только для 8 и 9 классов. Хотя в объявлении речь идёт о четырёх возрастных группах. Для группы 5-7 классы тестирования не будет. Я правильно понимаю?
Директор
Директор
Вчера в 10:58:32

Марина,
Здравствуйте. Тестирование будет проходить 18.03.2018г. с 11.00, для 9г с 12.00. Законному представителю ребенка необходимо иметь паспорт для подписания согласия на тестирование.
Марина
Марина
14 марта 2018

Добрый день!
На сайте размещена информация о диагностике профессиональных интересов и предпочтений, которая будет проходить 18 января. Прошу уточнить время, в которое необходимо прийти с ребёнком.
Директор
Директор
19 декабря 2017

ВитЗдравствуйте. По вопросам приема в первый класс можете прочитать на сайте правила приема. Запись детей с закрепленной территории начнется 1 февраля по расписанию. Расписание приема документов будет на сайте не позднее 20 января. Телефон для справок 52-27-38.
Вит
Вит
18 декабря 2017

Добрый день. Хотелось бы узнать, есть ли еще места для записи первоклассников не по прописке, и как записать, если возможность еще есть.
Директор
Директор
15 декабря 2017

По жалобе родителей 1в класса о температуре пищи была проверена работа столовой. Проведена работа с учителями,работниками столовой. Если проблемы не исчезли, прошу написать в электронную приемную.
Директор
Директор
1 ноября 2017

Zolot,
Здравствуйте. Подойдите к учителю физкультуры или зам.директору по УВР Григорян С.Д. для получения ответов на Ваши вопросы.
Zolot
Zolot
24 октября 2017

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, до какого класса дети в школе будут заниматься на лыжах и родители вынуждены покупать лыжи, ботинки и палки (не каждой семье это под силу)? Мы в 4 классе. В других школах города дети занимаются в зале.
Директор
Директор
10 февраля 2017

На основании письма учредителя и профсоюзной организации учителей №13 от 08.02.2017г., 25 февраля приказом по школе для педагогического состава будет объявлен методический день. Таким образом, занятия не будут проводиться 23, 24, 25, 26 февраля.

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте