Интернет-сообщество МБОУ "СОШ № 10" » Геометрические Тренинги (Часть 1)
Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Геометрические Тренинги (Часть 1)

 
   

Площади.

1. [В.В. Прасолов; №4.59]

[image]

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Пусть ABCDEFGHправильный восьмиугольник.

[u]Первый способ[/u]. [image], что и требовалось доказать (см. рис.).

[u]Второй способ[/u]. Угол правильного восьмиугольника равен 135°. Пусть |CD| = |CE| = a, тогда, из треугольника CDE: |CE|2 = 2a2 – 2a2cos135° Û [image]; |AE| = |CE|[image] = [image].

[image], что и требовалось доказать.

2. [В.В. Прасолов; №1.38]

[image]

Точка О, лежащая внутри выпуклого четырехугольника площади S, симметрично отражается относительно середин его сторон. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в полученных точках.

[u]Ответ[/u]: 2S.

Пусть ABCDданный четырехугольник; E, F, G и Hсередины его сторон; E’, F’, G’ и H’образы точки О при симметрии относительно этих середин (см. рис.).

[image]

Так как [EF] – средняя линия треугольника E’OF’, то SE’OF’ = 4SEOF. Аналогично, SF’OG’ = 4SFOG; SG’OH’ = 4SGOH и SH’OE’ = 4 SHOE. Таким образом, SE’F’G’H’ = 4SEFGH. По теореме Вариньона SEFGH = 0,5SABCD, следовательно, SE’F’G’H’ = 2S.

3. [Ol_geo_04, М.А. Волчкевич]

В выпуклом четырехугольнике АВСD Е – середина CD, F – середина АD, K – точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.

[image]

[image]

[u]Первый способ[/u]. Проведем EFсреднюю линию треугольника ADC (см. рис.). Тогда [image], так как высоты этих треугольников, проведенные из вершины F, совпадают. Кроме того, так как (EF) || (AC), то длины перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые EF и AC относятся, как |BE| : |BK|, поэтому, [image]. Перемножив почленно полученные равенства, имеем: [image], ч. т. д.

[u]Второй способ[/u]. Пусть a, c, f и d – длины перпендикуляров, опущенных на прямую из точек A, C, F и D соответственно (см. рис.). Тогда c = d; [image]. Следовательно, [image], ч. т. д.

[u]Третий способ[/u]. Проведем отрезки BD и DK (см. рис.). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то: 2SDBKF = 2(SABCD – SDBCE SDABF SDFKDSDDKE) = 2SABCD SDBCDSDABDSDAKDSDDKC = SABCDSDACD = SDABC, ч. т. д.

[u]Четвертый способ[/u]. Проведем отрезки BD и EF (см. рис.). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то SDBСЕ = [image]SDBСD и SDABF = [image]SDABD. Кроме того, так как EF – средняя линия треугольника ADC, то SDDEF = SDEFK = [image]SDACD. Следовательно, SDBKF = SABCD – SDABF SDBCE SDFKE = [image](SDABD + SDBCD + SDACD) = [image] SDABC, ч. т. д.

[image]

4. [В.В. Прасолов; №4.32]

Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда MN пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B – внутри окружности, причем (BC) || (PQ) и |BC| = |MA|. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что треугольники ACK и BCL равновелики.

Пусть ÐВСА = ÐPQC = a. Тогда, так как ÐPCQ = 90°, то ÐCPQ = 90°a (см. рис.). Проведем (АD) || (CQ) так, что DÎ[CP]. Из того, что DCKAпрямоугольник, следует, что |AD| = |CK|.

[image] = [image] = [image] = SBCL, что и требовалось доказать.

5. [В.В. Прасолов; №4.6]

[image]

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника.

[u]Ответ[/u]: [image].

Пусть АВСDEданный пятиугольник, (АС) I (BD) = P (см. рис.). Так как [image], то точки А и С равноудалены от прямой DE, то есть (AC) || (DE). Аналогично, (BD) || (AE), то есть, АРDE параллелограмм, значит, [image].

[image]

Пусть [image], тогда [image]. Так как [image], то [image] Û x2 + x – 1 = 0 Û [image]. Учитывая, что x > 0, получим: [image].

6. [ММР_02/03; 11_4.2]

Диагональ ВD вписанного четырехугольника АВСD является биссектрисой угла AВC. Найдите площадь АВСD, если |BD| = 6 см, ÐАВС = 60°.

[image]

[u]Ответ[/u]: [image] см2.

Так как равные дуги окружности стягиваются равными хордами, то в данном четырехугольнике АВСD |AD| = |DC| (см. рисунки).

[u]Первый способ[/u]. Рассмотрим симметрию относительно (BD) (см. рис. 1). Так как точка D равноудалена от сторон угла ВАС, то образом высоты DK треугольника ABD будет являться высота DK’ треугольника BCD. Тогда прямоугольные треугольники AKD и CK’D равны (по катету и гипотенузе), следовательно, SABCD = SBKDKў = 2SDBKD = [image].

[u]Второй способ[/u]. Рассмотрим поворот с центром D на угол АDC по часовой стрелке (см. рис. 2). При таком повороте: образами точек А и B являются точки С и B соответственно, то есть, образом треугольника ABD является равный ему треугольник CBD.

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 13:18:40

На основании письма учредителя и профсоюзной организации учителей №13 от 08.02.2017г., 25 февраля приказом по школе для педагогического состава будет объявлен методический день. Таким образом, занятия не будут проводиться 23, 24, 25, 26 февраля.
Директор
Директор
7 февраля 2017

Марина,
Здравствуйте.
24.02.2017 года выходной день за 01.01.2017 года. 25.02.2017 рабочая суббота, если не будет письма учредителя.
Марина
Марина
7 февраля 2017

Добрый день!
Подскажите, как будут учиться дети в праздничные дни на 23 февраля? Работающие люди отдыхают с 23 по 26 февраля. А школьники?
Директор
Директор
20 января 2017

Все это только с вашего добровольного согласия. По всем вопросам принуждения детей к участию в подобных мероприятиях звоните 529013. Спасибо.
Директор
Директор
20 января 2017

Уважаемые родители учащихся первой ступени(начальная школа)! Участие ваших детей в различных олимпиадах, конкурсах, организованных за деньги, не является обязательной частью учебного процесса.
Директор
Директор
14 декабря 2016

SashaM,
Проблему удалось решить. Все оценки выставляются в электронный дневник.
Директор
Директор
8 декабря 2016

SashaM,
Здравствуйте. Да, такая проблема есть. К сожалению, кроме бумажной формы журнала ничего Вам предложить не могу.
SashaM
SashaM
7 декабря 2016

Добрый день!
в 3 "А" классе длительное время болеет учитель из-за этого не выставляются оценки детей в электронный дневник, можно как то урегулировать этот вопрос? к сожалению, нет возможности постоянно смотреть классный журнал!
Директор
Директор
2 ноября 2016

Здравствуйте. Ваша жалоба на холодную пищу для учащихся 2-ой смены передана руководителю столовой для принятия мер и ответственному за питание для контроля данного вопроса. Готовят пищу для второй смены во второй половине дня. Спасибо за информацию.
Zolot
Zolot
1 ноября 2016

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, почему дети, учащиеся со второй смены, вынуждены питаться в столовой холодной пищей, разогревают еду только учителям. Видимо готовят только утром, правда цена за питание одинаковая для всех. Заранее спасибо за ответ.

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте