Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Геометрические Тренинги (Часть 1)

 
   

Площади.

1. [В.В. Прасолов; №4.59]

[image]

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Пусть ABCDEFGHправильный восьмиугольник.

[u]Первый способ[/u]. [image], что и требовалось доказать (см. рис.).

[u]Второй способ[/u]. Угол правильного восьмиугольника равен 135°. Пусть |CD| = |CE| = a, тогда, из треугольника CDE: |CE|2 = 2a2 – 2a2cos135° Û [image]; |AE| = |CE|[image] = [image].

[image], что и требовалось доказать.

2. [В.В. Прасолов; №1.38]

[image]

Точка О, лежащая внутри выпуклого четырехугольника площади S, симметрично отражается относительно середин его сторон. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в полученных точках.

[u]Ответ[/u]: 2S.

Пусть ABCDданный четырехугольник; E, F, G и Hсередины его сторон; E’, F’, G’ и H’образы точки О при симметрии относительно этих середин (см. рис.).

[image]

Так как [EF] – средняя линия треугольника E’OF’, то SE’OF’ = 4SEOF. Аналогично, SF’OG’ = 4SFOG; SG’OH’ = 4SGOH и SH’OE’ = 4 SHOE. Таким образом, SE’F’G’H’ = 4SEFGH. По теореме Вариньона SEFGH = 0,5SABCD, следовательно, SE’F’G’H’ = 2S.

3. [Ol_geo_04, М.А. Волчкевич]

В выпуклом четырехугольнике АВСD Е – середина CD, F – середина АD, K – точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.

[image]

[image]

[u]Первый способ[/u]. Проведем EFсреднюю линию треугольника ADC (см. рис.). Тогда [image], так как высоты этих треугольников, проведенные из вершины F, совпадают. Кроме того, так как (EF) || (AC), то длины перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые EF и AC относятся, как |BE| : |BK|, поэтому, [image]. Перемножив почленно полученные равенства, имеем: [image], ч. т. д.

[u]Второй способ[/u]. Пусть a, c, f и d – длины перпендикуляров, опущенных на прямую из точек A, C, F и D соответственно (см. рис.). Тогда c = d; [image]. Следовательно, [image], ч. т. д.

[u]Третий способ[/u]. Проведем отрезки BD и DK (см. рис.). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то: 2SDBKF = 2(SABCD – SDBCE SDABF SDFKDSDDKE) = 2SABCD SDBCDSDABDSDAKDSDDKC = SABCDSDACD = SDABC, ч. т. д.

[u]Четвертый способ[/u]. Проведем отрезки BD и EF (см. рис.). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то SDBСЕ = [image]SDBСD и SDABF = [image]SDABD. Кроме того, так как EF – средняя линия треугольника ADC, то SDDEF = SDEFK = [image]SDACD. Следовательно, SDBKF = SABCD – SDABF SDBCE SDFKE = [image](SDABD + SDBCD + SDACD) = [image] SDABC, ч. т. д.

[image]

4. [В.В. Прасолов; №4.32]

Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда MN пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B – внутри окружности, причем (BC) || (PQ) и |BC| = |MA|. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что треугольники ACK и BCL равновелики.

Пусть ÐВСА = ÐPQC = a. Тогда, так как ÐPCQ = 90°, то ÐCPQ = 90°a (см. рис.). Проведем (АD) || (CQ) так, что DÎ[CP]. Из того, что DCKAпрямоугольник, следует, что |AD| = |CK|.

[image] = [image] = [image] = SBCL, что и требовалось доказать.

5. [В.В. Прасолов; №4.6]

[image]

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника.

[u]Ответ[/u]: [image].

Пусть АВСDEданный пятиугольник, (АС) I (BD) = P (см. рис.). Так как [image], то точки А и С равноудалены от прямой DE, то есть (AC) || (DE). Аналогично, (BD) || (AE), то есть, АРDE параллелограмм, значит, [image].

[image]

Пусть [image], тогда [image]. Так как [image], то [image] Û x2 + x – 1 = 0 Û [image]. Учитывая, что x > 0, получим: [image].

6. [ММР_02/03; 11_4.2]

Диагональ ВD вписанного четырехугольника АВСD является биссектрисой угла AВC. Найдите площадь АВСD, если |BD| = 6 см, ÐАВС = 60°.

[image]

[u]Ответ[/u]: [image] см2.

Так как равные дуги окружности стягиваются равными хордами, то в данном четырехугольнике АВСD |AD| = |DC| (см. рисунки).

[u]Первый способ[/u]. Рассмотрим симметрию относительно (BD) (см. рис. 1). Так как точка D равноудалена от сторон угла ВАС, то образом высоты DK треугольника ABD будет являться высота DK’ треугольника BCD. Тогда прямоугольные треугольники AKD и CK’D равны (по катету и гипотенузе), следовательно, SABCD = SBKDKў = 2SDBKD = [image].

[u]Второй способ[/u]. Рассмотрим поворот с центром D на угол АDC по часовой стрелке (см. рис. 2). При таком повороте: образами точек А и B являются точки С и B соответственно, то есть, образом треугольника ABD является равный ему треугольник CBD.

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 19:06:28

Zolot,
С имеющимися у Вас фактами, что учителя не справляются со своими обязанностями, Вы можете обратиться к любому заместителю или к директору.
Директор
Директор
Сегодня в 18:59:00

Zolot,
Здравствуйте. За последние два месяца никаких (устных, письменных) обращений от учителей 6б и 6в классов директору не поступало. 28.11.2019 было устное обращение от родителя 6б класса с жалобой на поведение одного учащегося. В данный момент она передана в воспитательную службу.
Zolot
Zolot
Вчера в 18:58:11

Здравствуйте! В 6Б и 6В ужасное поведение на уроках, учителя пишут на Ваше имя докладные, но ничего не меняется, успеваемость очень низкая. К нарушителям и их родителям никаких действий со стороны администрации школы не применяется.Когда начнут разбираться с этой ситуацией?
Директор
Директор
28 ноября 2019

yakuba011,
Промониторили ситуацию с температурой в спортивных залах 10 дней. Все в пределах нормы. Временно вопрос снят с контроля.
yakuba011
yakuba011
19 ноября 2019

Спасибо.
Директор
Директор
18 ноября 2019

yakuba011,
Спасибо за обращение и уточнение. Учителям физкультуры указано на соблюдение температурного режима. В залах установлены термометры.Вопрос поставлен на контроль администрации.
yakuba011
yakuba011
18 ноября 2019

В большой школе.
Директор
Директор
18 ноября 2019

yakuba011,
Добрый день. У нас два здания. Укажите хотя бы класс.
yakuba011
yakuba011
18 ноября 2019

Добрый день. Ребёнок жалуется на холод в спортивном зале. Причём, жару не очень любит. Если бы было просто прохладно, он бы об этом даже не сказал. Поэтому, склонна верить, что реально холодно. Можно ли что-то предпринять по этому поводу ?
Директор
Директор
31 октября 2019

nastas,
Добрый день. Уточните свой вопрос здесь или можете это сделать по тел. 522738- секретарь (529013- директор).

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте