Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Олимпиадные задачи на применение средней линии

 
   

Олимпиадные задачи на применение средней линии.

Основные понятия.

Средней линей треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

А В треугольнике АВС MN – средняя линия.

 

M

C N B

Свойства средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна ее половине.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А В

М N

 

 

D С

Свойства средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна полусумме ее оснований.

Задачи для 8 – 9 классов.

  1. Из вершины [image] треугольника [image] опущены перпендикуляры [image] и [image] на биссектрисы углов [image] и [image] (или их продолжения).

а) докажите, что отрезки [image] и [image] параллельны;

б) найдите [image], если [image]

  1. На плоскости даны четыре точки [image]. Докажите неравенство [image], где [image] – середина отрезка [image], [image] – середина отрезка [image].

  2. В трапеции сумма углов при большем основании равна [image]. Доказать, что расстояние между серединами оснований этой трапеции равно расстоянию между серединами ее диагоналей.

  3. В треугольнике АВС угол А равен [image]. Известно, что медиана ВМ равна высоте СК. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

  4. Точки K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Докажите, что [image] тогда и только тогда, когда АС и BD – перпендикулярны.

  5. В треугольнике ABC сторона BC вдвое больше стороны AC. Докажите, что медиана AD этого треугольника делит пополам угол между стороной AB и медианой AE треугольника ADC.

  6. В четырёхугольнике ABCD, отличном от трапеции стороны AD и BC равны, точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Докажите, что прямая MN образует равные углы с прямыми AD и BC.

Более сложные задачи.

  1. В пятиугольнике АВСDЕ К – середина АВ, L – середина BC, M – серединаCD, N – середина DE, P – середина KM, Q – середина LN. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AE и равен ее четверти.

[image]

  1. Можно ли двумя прямолинейными разрезами, проходящими через две вершины треугольника, разрезать на четыре части такие, что три из них – равновеликие треугольники?

  2. АВСD - трапеция, ВС║АD. М – точка пересечения биссектрис углов А и В, а N – точка пересечения биссектрис углов С и D. Зная длины сторон трапеции, найдите длину отрезка МN.

 

Решение задач для 8 – 9 классов.

  1. Продолжим [image] до пересечения со стороной [image] (или ее продолжением) в точке [image]. Легко заметить, что [image], значит [image] лежит на [image], если [image], и на продолжении [image] за точку [image], если [image]. Так как треугольник [image] равнобедренный и [image], получаем [image]. Пусть [image] – точка пересечения продолжения [image] со стороной [image] (или ее продолжением). Аналогично предыдущему получаем [image]. Значит [image] – средняя линия в треугольнике [image] и [image] Утверждение а) доказано.

б) из замеченного выше получаем

[image]

  1. [image]Проведем диагональ [image]. Пусть [image] – середина [image], [image] – средняя линия [image] [image] – средняя линия [image]. Значит, [image].

  2. [image]Пусть [image], [image] – основания трапеции и [image]. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Тогда [image]. Пусть К середина AD, L – точка пересечения ЕК и ВС. Заметим, что L – середина ВС. В прямоугольном треугольнике AED EK – медиана, проведенная к гипотенузе, поэтому AK=KE=KD, значит АКЕ и EKD – равнобедренные треугольники и [image], [image], по свойству секущих имеем [image], [image]. Треугольники BLE, CLE – равнобедренные и BL=LE=LC. Из доказанного получили также, что [image], [image], значит [image].

Далее, середина Р диагонали АС лежит на средней линии РМ треугольника ACD, значит лежит на средней линии MN трапеции ABCD.

Точно также середина Q диагонали BD лежит на средней линии NQ треугольника ABD и на MN.

Поскольку [image], [image],

[image].

  1. Из точки М опустим перпендикуляр MN на сторону АВ. Так как [image] и СК – высота, отрезок MN – средняя линия в треугольнике АКС. Треугольник BNM – прямоугольный, ВМ его гипотенуза и [image], т.е. катет MN вдвое меньше гипотенузы, это означает, что [image]. Отсюда [image], ВМ – высота и медиана, значит, биссектриса и [image].

  2. Рассмотрим четырехугольник KLMN. Отрезки KL и MN – средние линии треугольников АВС и CDA. Значит, KL и MN параллельны диагонали АС и равны ее половине. Получили, что KLMN – параллелограмм по условию задачи. Каждое из условий [image] и [image] эквивалентно тому, что KLMN – является прямоугольником, значит, они эквивалентны между собой.

  3. [image]Проведем медиану DL треугольника ACD, она будет средней линией треугольника АВС. Значит, АВ параллельна DL и [image]. Медиана CN треугольника ACD является его высотой (АС=CD). В треугольнике AMD, где М пересечение АЕ и DL, MN медиана и высота. Значит, AMD равнобедренный и [image].

  4. [image]Построим отрезок KL равный и параллельный AB так, что точка N будет его серединой. Тогда треугольники LND и KNC равны по первому признаку. Отсюда следует, что равны DL и KC. Отрезки AL и BK равны, так как являются противоположными сторонами параллелограмма ABKL. Таким образом, треугольники ADL и BCK равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, углы LAK и KBC равны. Поскольку прямая пересекает параллельные стороны под одинаковыми углами, задача решена.

Решение более сложные задачи.

  1. Пусть Х – середина отрезка АD. Тогда отрезок ХN является средней линией треугольника АDЕ, параллелен стороне АЕ и равен ее половине. В четырехугольнике АВСD средние линии КМ и ХL делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Р – середина отрезка ХL. Таким образом, отрезок РQ – средняя линия треугольника ХLN, он параллелен ХN и равен 0,5ХN = 0,25АЕ.

[image]

  1. Нет, нельзя. Чтобы выполнялось равенство SAOB=SDOD=SAOE необходимо, чтобы AO=OD, BO=OE. Но это бы означало, что точка О лежит на двух средних линиях треугольника АВС, что невозможно.

[image]

  1. Пусть L и К – середины АВ и СD соответственно. Точка М равноудалена от прямых АD и ВС, т.е. лежит на средней линии LК. Значит, NМ = LК - МL – NК. Так как ∟МВА + ∟МАВ = 900, то ∟АМВ = 900, поэтому МL = АВ:2. Аналогично, NК = СD:2. Наконец, LК = (ВС + АD):2. Получим ответ: NМ = (ВС + АD – АВ – СD):2.

[image]

 

 

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 13:20:37

Макушева Елена,
Добрый день. Лагеря дневного пребывания в школе нет.
Макушева Елена
Макушева Елена
Вчера в 12:17:56

Добрый день. На базе школы функционирует летний лагерь дневного пребывания?
Директор
Директор
14 января 2020

Макушева Елена,
Добрый вечер. Вся информация на сайте.https://yadi.sk/i/1HOzAaVHL
Am5SA
Макушева Елена
Макушева Елена
14 января 2020

Добрый день. Меня интересует информация о записи в начальную школу. Где об этом можно узнать? Заранее спасибо за ответ.
Директор
Директор
13 января 2020

Внимание !!
Банковские реквизиты школы можно узнать после 20 января на сайте школы в разделе "Новости".
Директор
Директор
1 декабря 2019

Zolot,
С имеющимися у Вас фактами, что учителя не справляются со своими обязанностями, Вы можете обратиться к любому заместителю или к директору.
Директор
Директор
1 декабря 2019

Zolot,
Здравствуйте. За последние два месяца никаких (устных, письменных) обращений от учителей 6б и 6в классов директору не поступало. 28.11.2019 было устное обращение от родителя 6б класса с жалобой на поведение одного учащегося. В данный момент она передана в воспитательную службу.
Zolot
Zolot
30 ноября 2019

Здравствуйте! В 6Б и 6В ужасное поведение на уроках, учителя пишут на Ваше имя докладные, но ничего не меняется, успеваемость очень низкая. К нарушителям и их родителям никаких действий со стороны администрации школы не применяется.Когда начнут разбираться с этой ситуацией?
Директор
Директор
28 ноября 2019

yakuba011,
Промониторили ситуацию с температурой в спортивных залах 10 дней. Все в пределах нормы. Временно вопрос снят с контроля.
yakuba011
yakuba011
19 ноября 2019

Спасибо.

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте