Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Олимпиадные задачи на применение средней линии

 
   

Олимпиадные задачи на применение средней линии.

Основные понятия.

Средней линей треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

А В треугольнике АВС MN – средняя линия.

 

M

C N B

Свойства средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна ее половине.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А В

М N

 

 

D С

Свойства средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна полусумме ее оснований.

Задачи для 8 – 9 классов.

  1. Из вершины [image] треугольника [image] опущены перпендикуляры [image] и [image] на биссектрисы углов [image] и [image] (или их продолжения).

а) докажите, что отрезки [image] и [image] параллельны;

б) найдите [image], если [image]

  1. На плоскости даны четыре точки [image]. Докажите неравенство [image], где [image] – середина отрезка [image], [image] – середина отрезка [image].

  2. В трапеции сумма углов при большем основании равна [image]. Доказать, что расстояние между серединами оснований этой трапеции равно расстоянию между серединами ее диагоналей.

  3. В треугольнике АВС угол А равен [image]. Известно, что медиана ВМ равна высоте СК. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

  4. Точки K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Докажите, что [image] тогда и только тогда, когда АС и BD – перпендикулярны.

  5. В треугольнике ABC сторона BC вдвое больше стороны AC. Докажите, что медиана AD этого треугольника делит пополам угол между стороной AB и медианой AE треугольника ADC.

  6. В четырёхугольнике ABCD, отличном от трапеции стороны AD и BC равны, точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Докажите, что прямая MN образует равные углы с прямыми AD и BC.

Более сложные задачи.

  1. В пятиугольнике АВСDЕ К – середина АВ, L – середина BC, M – серединаCD, N – середина DE, P – середина KM, Q – середина LN. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AE и равен ее четверти.

[image]

  1. Можно ли двумя прямолинейными разрезами, проходящими через две вершины треугольника, разрезать на четыре части такие, что три из них – равновеликие треугольники?

  2. АВСD - трапеция, ВС║АD. М – точка пересечения биссектрис углов А и В, а N – точка пересечения биссектрис углов С и D. Зная длины сторон трапеции, найдите длину отрезка МN.

 

Решение задач для 8 – 9 классов.

  1. Продолжим [image] до пересечения со стороной [image] (или ее продолжением) в точке [image]. Легко заметить, что [image], значит [image] лежит на [image], если [image], и на продолжении [image] за точку [image], если [image]. Так как треугольник [image] равнобедренный и [image], получаем [image]. Пусть [image] – точка пересечения продолжения [image] со стороной [image] (или ее продолжением). Аналогично предыдущему получаем [image]. Значит [image] – средняя линия в треугольнике [image] и [image] Утверждение а) доказано.

б) из замеченного выше получаем

[image]

  1. [image]Проведем диагональ [image]. Пусть [image] – середина [image], [image] – средняя линия [image] [image] – средняя линия [image]. Значит, [image].

  2. [image]Пусть [image], [image] – основания трапеции и [image]. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Тогда [image]. Пусть К середина AD, L – точка пересечения ЕК и ВС. Заметим, что L – середина ВС. В прямоугольном треугольнике AED EK – медиана, проведенная к гипотенузе, поэтому AK=KE=KD, значит АКЕ и EKD – равнобедренные треугольники и [image], [image], по свойству секущих имеем [image], [image]. Треугольники BLE, CLE – равнобедренные и BL=LE=LC. Из доказанного получили также, что [image], [image], значит [image].

Далее, середина Р диагонали АС лежит на средней линии РМ треугольника ACD, значит лежит на средней линии MN трапеции ABCD.

Точно также середина Q диагонали BD лежит на средней линии NQ треугольника ABD и на MN.

Поскольку [image], [image],

[image].

  1. Из точки М опустим перпендикуляр MN на сторону АВ. Так как [image] и СК – высота, отрезок MN – средняя линия в треугольнике АКС. Треугольник BNM – прямоугольный, ВМ его гипотенуза и [image], т.е. катет MN вдвое меньше гипотенузы, это означает, что [image]. Отсюда [image], ВМ – высота и медиана, значит, биссектриса и [image].

  2. Рассмотрим четырехугольник KLMN. Отрезки KL и MN – средние линии треугольников АВС и CDA. Значит, KL и MN параллельны диагонали АС и равны ее половине. Получили, что KLMN – параллелограмм по условию задачи. Каждое из условий [image] и [image] эквивалентно тому, что KLMN – является прямоугольником, значит, они эквивалентны между собой.

  3. [image]Проведем медиану DL треугольника ACD, она будет средней линией треугольника АВС. Значит, АВ параллельна DL и [image]. Медиана CN треугольника ACD является его высотой (АС=CD). В треугольнике AMD, где М пересечение АЕ и DL, MN медиана и высота. Значит, AMD равнобедренный и [image].

  4. [image]Построим отрезок KL равный и параллельный AB так, что точка N будет его серединой. Тогда треугольники LND и KNC равны по первому признаку. Отсюда следует, что равны DL и KC. Отрезки AL и BK равны, так как являются противоположными сторонами параллелограмма ABKL. Таким образом, треугольники ADL и BCK равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, углы LAK и KBC равны. Поскольку прямая пересекает параллельные стороны под одинаковыми углами, задача решена.

Решение более сложные задачи.

  1. Пусть Х – середина отрезка АD. Тогда отрезок ХN является средней линией треугольника АDЕ, параллелен стороне АЕ и равен ее половине. В четырехугольнике АВСD средние линии КМ и ХL делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Р – середина отрезка ХL. Таким образом, отрезок РQ – средняя линия треугольника ХLN, он параллелен ХN и равен 0,5ХN = 0,25АЕ.

[image]

  1. Нет, нельзя. Чтобы выполнялось равенство SAOB=SDOD=SAOE необходимо, чтобы AO=OD, BO=OE. Но это бы означало, что точка О лежит на двух средних линиях треугольника АВС, что невозможно.

[image]

  1. Пусть L и К – середины АВ и СD соответственно. Точка М равноудалена от прямых АD и ВС, т.е. лежит на средней линии LК. Значит, NМ = LК - МL – NК. Так как ∟МВА + ∟МАВ = 900, то ∟АМВ = 900, поэтому МL = АВ:2. Аналогично, NК = СD:2. Наконец, LК = (ВС + АD):2. Получим ответ: NМ = (ВС + АD – АВ – СD):2.

[image]

 

 

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 16:57:33

Симона,
Добрый вечер. К сожалению, свободных мест в первых классах нет.
Симона
Симона
Сегодня в 08:33:54

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как можно попасть переводом в вашу школу в 1й класс? Есть ли места? Обязательна ли прописка?
Директор
Директор
25 сентября 2018

Valentina,
Прививки ставят с сентября. 232 учащихся привиты. Закончилась выделенная вакцина. Ждем поставок.
Valentina
Valentina
18 сентября 2018

Добрый день! Когда начнется вакцинация учащихся против гриппа?
Директор
Директор
2 мая 2018

Окончательные оценки получают централизованно в зашифрованном виде. После расшифровки оценки принимают статус официальных и доводятся до сведения детей и их родителей. Пока результатов нет.
Директор
Директор
2 мая 2018

Zolot,
Добрый день. Поясню здесь то, что могли бы узнать у своего учителя. ВПР(Всероссийские проверочные работы) проверяются и оцениваются учителями школы только предварительно.
Zolot
Zolot
27 апреля 2018

Здравствуйте!В 4-ых классах дети писали ВПР (рус.яз.-17.04,19.04), математика - 24.04, окруж.мир - 26.04). В других школах уже детям объявили результаты по русскому языку и математике. Когда проверят работы детей нашей школы и скажут оценки?
Директор
Директор
16 марта 2018

Марина,
Нет, неправильно. Придёте, дадите согласие, проведем тестирование для любого школьного возраста. С 11.00 до 14.00.
Марина
Марина
16 марта 2018

Таким образом, тестирование будет проводиться только для 8 и 9 классов. Хотя в объявлении речь идёт о четырёх возрастных группах. Для группы 5-7 классы тестирования не будет. Я правильно понимаю?
Директор
Директор
15 марта 2018

Марина,
Здравствуйте. Тестирование будет проходить 18.03.2018г. с 11.00, для 9г с 12.00. Законному представителю ребенка необходимо иметь паспорт для подписания согласия на тестирование.

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте