Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться.

Олимпиадные задачи на применение средней линии

 
   

Олимпиадные задачи на применение средней линии.

Основные понятия.

Средней линей треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

А В треугольнике АВС MN – средняя линия.

 

M

C N B

Свойства средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна ее половине.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А В

М N

 

 

D С

Свойства средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна полусумме ее оснований.

Задачи для 8 – 9 классов.

  1. Из вершины [image] треугольника [image] опущены перпендикуляры [image] и [image] на биссектрисы углов [image] и [image] (или их продолжения).

а) докажите, что отрезки [image] и [image] параллельны;

б) найдите [image], если [image]

  1. На плоскости даны четыре точки [image]. Докажите неравенство [image], где [image] – середина отрезка [image], [image] – середина отрезка [image].

  2. В трапеции сумма углов при большем основании равна [image]. Доказать, что расстояние между серединами оснований этой трапеции равно расстоянию между серединами ее диагоналей.

  3. В треугольнике АВС угол А равен [image]. Известно, что медиана ВМ равна высоте СК. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

  4. Точки K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Докажите, что [image] тогда и только тогда, когда АС и BD – перпендикулярны.

  5. В треугольнике ABC сторона BC вдвое больше стороны AC. Докажите, что медиана AD этого треугольника делит пополам угол между стороной AB и медианой AE треугольника ADC.

  6. В четырёхугольнике ABCD, отличном от трапеции стороны AD и BC равны, точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Докажите, что прямая MN образует равные углы с прямыми AD и BC.

Более сложные задачи.

  1. В пятиугольнике АВСDЕ К – середина АВ, L – середина BC, M – серединаCD, N – середина DE, P – середина KM, Q – середина LN. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AE и равен ее четверти.

[image]

  1. Можно ли двумя прямолинейными разрезами, проходящими через две вершины треугольника, разрезать на четыре части такие, что три из них – равновеликие треугольники?

  2. АВСD - трапеция, ВС║АD. М – точка пересечения биссектрис углов А и В, а N – точка пересечения биссектрис углов С и D. Зная длины сторон трапеции, найдите длину отрезка МN.

 

Решение задач для 8 – 9 классов.

  1. Продолжим [image] до пересечения со стороной [image] (или ее продолжением) в точке [image]. Легко заметить, что [image], значит [image] лежит на [image], если [image], и на продолжении [image] за точку [image], если [image]. Так как треугольник [image] равнобедренный и [image], получаем [image]. Пусть [image] – точка пересечения продолжения [image] со стороной [image] (или ее продолжением). Аналогично предыдущему получаем [image]. Значит [image] – средняя линия в треугольнике [image] и [image] Утверждение а) доказано.

б) из замеченного выше получаем

[image]

  1. [image]Проведем диагональ [image]. Пусть [image] – середина [image], [image] – средняя линия [image] [image] – средняя линия [image]. Значит, [image].

  2. [image]Пусть [image], [image] – основания трапеции и [image]. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Тогда [image]. Пусть К середина AD, L – точка пересечения ЕК и ВС. Заметим, что L – середина ВС. В прямоугольном треугольнике AED EK – медиана, проведенная к гипотенузе, поэтому AK=KE=KD, значит АКЕ и EKD – равнобедренные треугольники и [image], [image], по свойству секущих имеем [image], [image]. Треугольники BLE, CLE – равнобедренные и BL=LE=LC. Из доказанного получили также, что [image], [image], значит [image].

Далее, середина Р диагонали АС лежит на средней линии РМ треугольника ACD, значит лежит на средней линии MN трапеции ABCD.

Точно также середина Q диагонали BD лежит на средней линии NQ треугольника ABD и на MN.

Поскольку [image], [image],

[image].

  1. Из точки М опустим перпендикуляр MN на сторону АВ. Так как [image] и СК – высота, отрезок MN – средняя линия в треугольнике АКС. Треугольник BNM – прямоугольный, ВМ его гипотенуза и [image], т.е. катет MN вдвое меньше гипотенузы, это означает, что [image]. Отсюда [image], ВМ – высота и медиана, значит, биссектриса и [image].

  2. Рассмотрим четырехугольник KLMN. Отрезки KL и MN – средние линии треугольников АВС и CDA. Значит, KL и MN параллельны диагонали АС и равны ее половине. Получили, что KLMN – параллелограмм по условию задачи. Каждое из условий [image] и [image] эквивалентно тому, что KLMN – является прямоугольником, значит, они эквивалентны между собой.

  3. [image]Проведем медиану DL треугольника ACD, она будет средней линией треугольника АВС. Значит, АВ параллельна DL и [image]. Медиана CN треугольника ACD является его высотой (АС=CD). В треугольнике AMD, где М пересечение АЕ и DL, MN медиана и высота. Значит, AMD равнобедренный и [image].

  4. [image]Построим отрезок KL равный и параллельный AB так, что точка N будет его серединой. Тогда треугольники LND и KNC равны по первому признаку. Отсюда следует, что равны DL и KC. Отрезки AL и BK равны, так как являются противоположными сторонами параллелограмма ABKL. Таким образом, треугольники ADL и BCK равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, углы LAK и KBC равны. Поскольку прямая пересекает параллельные стороны под одинаковыми углами, задача решена.

Решение более сложные задачи.

  1. Пусть Х – середина отрезка АD. Тогда отрезок ХN является средней линией треугольника АDЕ, параллелен стороне АЕ и равен ее половине. В четырехугольнике АВСD средние линии КМ и ХL делятся точкой пересечения пополам, следовательно, Р – середина отрезка ХL. Таким образом, отрезок РQ – средняя линия треугольника ХLN, он параллелен ХN и равен 0,5ХN = 0,25АЕ.

[image]

  1. Нет, нельзя. Чтобы выполнялось равенство SAOB=SDOD=SAOE необходимо, чтобы AO=OD, BO=OE. Но это бы означало, что точка О лежит на двух средних линиях треугольника АВС, что невозможно.

[image]

  1. Пусть L и К – середины АВ и СD соответственно. Точка М равноудалена от прямых АD и ВС, т.е. лежит на средней линии LК. Значит, NМ = LК - МL – NК. Так как ∟МВА + ∟МАВ = 900, то ∟АМВ = 900, поэтому МL = АВ:2. Аналогично, NК = СD:2. Наконец, LК = (ВС + АD):2. Получим ответ: NМ = (ВС + АD – АВ – СD):2.

[image]

 

 

Вход

Диалоги

Директор
Директор
Сегодня в 15:17:10

ВитЗдравствуйте. По вопросам приема в первый класс можете прочитать на сайте правила приема. Запись детей с закрепленной территории начнется 1 февраля по расписанию. Расписание приема документов будет на сайте не позднее 20 января. Телефон для справок 52-27-38.
Вит
Вит
Вчера в 23:53:44

Добрый день. Хотелось бы узнать, есть ли еще места для записи первоклассников не по прописке, и как записать, если возможность еще есть.
Директор
Директор
15 декабря 2017

По жалобе родителей 1в класса о температуре пищи была проверена работа столовой. Проведена работа с учителями,работниками столовой. Если проблемы не исчезли, прошу написать в электронную приемную.
Директор
Директор
1 ноября 2017

Zolot,
Здравствуйте. Подойдите к учителю физкультуры или зам.директору по УВР Григорян С.Д. для получения ответов на Ваши вопросы.
Zolot
Zolot
24 октября 2017

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, до какого класса дети в школе будут заниматься на лыжах и родители вынуждены покупать лыжи, ботинки и палки (не каждой семье это под силу)? Мы в 4 классе. В других школах города дети занимаются в зале.
Директор
Директор
10 февраля 2017

На основании письма учредителя и профсоюзной организации учителей №13 от 08.02.2017г., 25 февраля приказом по школе для педагогического состава будет объявлен методический день. Таким образом, занятия не будут проводиться 23, 24, 25, 26 февраля.
Директор
Директор
7 февраля 2017

Марина,
Здравствуйте.
24.02.2017 года выходной день за 01.01.2017 года. 25.02.2017 рабочая суббота, если не будет письма учредителя.
Марина
Марина
7 февраля 2017

Добрый день!
Подскажите, как будут учиться дети в праздничные дни на 23 февраля? Работающие люди отдыхают с 23 по 26 февраля. А школьники?
Директор
Директор
20 января 2017

Все это только с вашего добровольного согласия. По всем вопросам принуждения детей к участию в подобных мероприятиях звоните 529013. Спасибо.
Директор
Директор
20 января 2017

Уважаемые родители учащихся первой ступени(начальная школа)! Участие ваших детей в различных олимпиадах, конкурсах, организованных за деньги, не является обязательной частью учебного процесса.

Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги.

Опрос на сайте